Compromiso Personal

     El humano, desde los principios ha tenido una necesidad de darle nombre a todo y clasificar todo. El hombre creo muchas ciencias a través de su historia, incluyendo las matemáticas La leyenda cuenta que al principio las matemáticas eran usadas sin percatarse por ejemplo, por los pastores, los cuales asociaban a sus rebaños una cantidad de piedras para poder verificar que ni uno se les quedaba atrás. Si uno analiza bien lo que el hombre enverdad hizo no fue crear una ciencia, si no mas bien, darle nombre al fenómeno que ocurría alrededor de ellos, el universo. Las matemáticas han ayudado al hombre a poder saciar su necesidad de entender todo, pero pasado el punto de lo básico, las matemáticas se volvieron un problema que mas que saciar la necesidad del humano para entender, lo acomplejaba aun mas, obligandolo a pensar y a resolver con cada vez mas ingenio los puzzles del universo que se escondían detrás de los signos de las matemáticas. Alguna vez Descartes planteò que ""La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles". Uno tiende a pensar que las matemáticas nos complican y perjudican, cuando han sido estas las que nos obligan a razonar cada vez de manera mas bella, para ir superándonos en esta búsqueda del deseo mas antiguo y ambicioso del hombre, entender el universo.

     Mientras el hombre iba razonando de a poco empezó a encontrar relaciones en el universo. Cada vez estas relaciones se volvían mas difíciles de interpretar e imaginar tan solo con la mente. Ya no era simplemente 1 oveja con 1 piedra, eran valores aun mas complejos y difíciles de entender por lo que se decidió a estas relaciones dibujarlas de una forma que simplificara el trabajo, naciendo así, la graficación  de relaciones. Como el hombre cada vez podía  darse cuenta de mas cosas y como siempre, tiene un afán de clasificar todo, se percató que habían grupos de relaciones que se parecían mucho entre ellas y que podían ser agrupadas en un mismo conjunto. Por ejemplo, se dieron cuenta que las funciones lineales siempre eran igual, y que lo que cambiaba eran algunas variables que era finalmente eran las que diferenciaban los gráficos obtenidos.

     Como las matemáticas tienen como principal objetivo darnos respuestas a través de nuestro razonamiento, buscar como cambiaban los gráficos de las funciones según el cambio de sus variables era algo tedioso, así que con la ayuda del profesor buscamos nuestras propias herramientas para poder analizar y realizar un informe completo de patrones que encontrábamos al cambiar de valor las variables en ciertos tipos de funciones definidas.

Analisis de Graficos

   Primero que todo, con tal de volver el resto del análisis mas sencillo, vamos a observar el comportamiento de una variable que se encuentra en cada función, el termino C , el cual se encuentra sumando a la operación principal de la función, como es el primer caso, la función valor absoluto, f(x) = a |x - b|  + c

En esta función se refleja el cambio provocado por la variación de C, el cual es bastante sencillo, ya que este valor representa usualmente el corte con el eje Y, ¨levantara¨ o ¨bajara¨ a la función si C toma un valor positivo o negativo respectivamente, desplazándola  a lo largo del eje.

Con esto fuera del camino, que se repite en todas las funciones siguientes, el analisis de estas se simplifica.

1. f(x) = a|x-b|

 Primero que todo, se observa la variación de a, al mantener los demás valores constantes. Entre positivos y negativos, se ve la inversión de la gráfica, ya que al multiplicar el resultado del valor absoluto por un negativo, este cambiara su recorrido al eje Y negativo.

Por otra parte, al aumentar su magnitud, se ve como la función se ¨estruja¨ ya que aumenta la pendiente de ambas rectas que conforman la función, caso contrario cuando se usan valores entre 0 y 1, donde la función se expande. Al ser a = 0 , la función es paralela al eje x.

 Finalmente, la variacion en la variable b , es responsable de un desplazamiento en el eje X. Esto ocurre por que, al estar dentro del valor absoluto, la variable transforma al valor de x en otro segun su magnitud, por ejemplo si b es +1, 0 se convierte en 1, 2 en 3, y asi. Si es positiva, se traslada a la derecha, a la izquierda en caso de ser negativa.

En este grafico se puede apreciar, en estado neutro, los valores de a, b y c neutro, valor numérico: 1. Se puede analizar que el grafico presente decrece constantemente en el dominio negativo del eje X, y al llegar al punto (0,0), comienza a ascender constantemente en el dominio positivo del eje X. La ecuación neutra de esta función se puede presentar de la siguiente manera; f(x)=|x|. El valor que corresponde a cada x es su misma magnitud en el eje y, es decir, su numero sin considerar el signo

2.f(x)= x^n

 En esta función exponencial, existe solo la variable n, la cual solo toma valores reales positivos.. Cuando su valor es 1, la función se vuelve la funcion identidad, al ser f(x)=x Cuando toma valores mayores, los valores de x son elevados a mayores exponentes y por tanto su recorrido es de mayor magnitud y parezca que la funcion crece hacia arriba. Esta ¨cae¨ con valores inferiores a uno, ya que al ser un decimal de fraccion propia, la raiz sera mayor a la potencia, por tanto los recorridos son menores. Cabe destacar la presencia de recorridos negativos solo en valores de n enteros, esto es por que al jugar con decimales, se termina con la raiz de un numero negativo, lo cual no existe en los numeros reales, y en casos enteros, el resto de la funcion sera un espejo de su otra mitad, con simetria respecto al eje y para numeros pares, y simetria respecto al origen para numeros impares, los primeros vuelven al recorrido positivo, mientras que los ultimos lo regresan a los valores negativos.

Al ser una ecuación exponencial, al estar en estado neutro, ósea n=1,  la identidad de la función se convierte en f(x)=x, por lo que se transforma en funcion identidad

Analisis de Graficos #2

3.a*e^k*x

Al observar la variación de a se puede ver que el sentido de la gráfica (si es positivo o negativo) cambia. Si el valor de a es positivo el gráfico sera creciente. Si es negativo entonces su sentido sera negativo, es decir decreciente Ahora, mientras mas lejano este el valor de a de "0" menos dilatado estará el brazo de la gráfica y intersectara al eje Y en una magnitud mayor. Cuando el valor de a es igual a 0 el gráfico se vuelve una recta constante que va a lo largo del eje X. Finalmente es a el que le da la convexidad a la curva.

Al ver el valor de k se observa que cuando k toma una magnitud mayor y es positivo, el recorrido del eje X positivo se acerca al eje Y. En el caso contrario cuando k es negativo, el recorrido del eje X negativo también se acerca al eje Y, manteniendo siempre la forma característica de las funciones exponenciales. al ser negativo invierte a el valor de e, convirtiendolo en 1/e, por lo que disminuira el valor que luego multiplicara a Cuando K es igual a 0 la función se vuelve paralela al eje X dependiendo del valor de a (si a es 1 entonces habrá una recta paralela al eje X en 1).

Por lo que se ve puede apreciar en el grafico de la función en estado neutro, osea manteniendo el valor de a y de k en 1, se puede observar que, el grafico adopta una forma creciente, intersectando con el eje y en el punto 1, partiendo paralelo en la región negativa del eje X, pero después aumentando en la región positiva del mismo eje. La ecuación del grafico neutro se ve expresada de tal manera; f(x)=e^(x), los valores negativos crean una raiz mayor al la potencia, resultando en valores inferiores que tienden a 0.

4. ln (a*x)

Al cambiar el valor de a se ve como la función cambia de sentido, según el valor positivo o negativo de esta variable. Si a es negativo, entonces el sentido sera hacia la izquierda y por ende el dominio serán todos los Reales Negativos y si a es positivo el sentido de la curva sera hacia la derecha y por ende el dominio seran todos los Reales Positivos.

Este grafico, al tener la función “neutra” de f(x)=log(x), se puede concluir que adopta una curva en donde el dominio cubre todos los reales positivos. Esto se debe a que el valor de a, se mantiene en 1, por lo que es a positivo. En valores de X cercanos a 0 ,  los valores de su recorrido aumentan de manera exponencial en el eje Y

Analisis de Graficos #3

5.f(x)= a(x-b)^3

El primer factor variable es a , el cual, similar a casos anteriores, es responsable del cambio en la pendiente, aunque en este caso sea una curva, una magnitud mayor las comprime y a los valores de x les corresponde aun mayor valor de y. En cambio los valores cercanos a 0 ¨aplanan¨ la función, estirándola en el eje x. En caso de ser 0, la función es paralela al eje x.

 La siguiente variable b , repite su efecto, desplazando la funcion en el eje x ya que hace variar el valor de x antes de llevar a cabo el resto de la operación, trasladándola segun su mismo valor.

 al mantener la función en estado neutro, se puede decir que esta termina adoptando la identidad de f(x)=x^(3), ya que los valores de a, b y c adoptan el valor neutro, ya sea 1 para a, que esta multiplicando,  y b y c, en el valor 0 ya que están sumando/restando. Debido a esto, la función se mantiene en el punto (0,0), debido a c y b, y la pendiente, ya sea en la región I, como en la región III, va a aumentando a un ritmo constante al aumentar el valor numérico de x.

6. f(x) = a√(x-b)

 Nuevamente a crea el mismo cambio, en la funcion raiz cuadrada quizas es menos notorio, ya que usualmente los valores son menores., pero a grandes numeros se ve con mayor claridad el cambio en la pendiente. Al ser negativo a la funcion se invierte, y al tener valores cercanos a 0, el recorrido tiende a 0.

Al variar b, vuelve a ocurrir el desplazamiento en el eje x, hacia los positivos cuando la variable es positiva, y caso contrario al ser negativa.

Como el valor se b vuelve neutro (0), esta función exponencial comienza desde el punto central del plano, (0,0). Como se puede apreciar, con los primeros valores de x, la función adopta un ritmo creciente mínimo, pero al ir aumentando el valor de x, este ya sufre un mayor crecimiento exponencial. Se mantiene en el primer cuadrante debido a que no hay ningún valor negativo posible, ya que la raiz se expresa como valor positivo y no existe raiz de un numero negativo en los numeros reales.

Analisis de Graficos #4

7. f(x)= a(1/2)^(kx)

Al ser a responsable de la pendiente de la funcion, se ve como este se ¨levanta¨ al aumentar su magnitud, y a volverse paralela al eje x cuando se acerca a 0. Al ser negativo, se invierte la funcion.

k es responsable de la potencia que se efectua en la funcion, que al ser de mayor magnitud el recorrido tambien lo sera. Al acercarse a 0, la potencia equivale a 1 lo que remueve su relevancia y la funcion (con a=1) es paralela al eje x. Al tomar valores negativos, se invierte el 1/2 por y se convierte en 2, lo que provoca que se amplifiquen los recorridos para x positivos y lo contrario con los negativos, lo que crea que se vuelva una especie de espejo de su forma anterior.

Por lo que se ve puede apreciar en el grafico de la función en estado neutro, osea manteniendo el valor de a y de k en 1, se puede observar que, el grafico adopta una forma decreciente, intersectando con el eje y en el punto 1, hasta llegar a ser paralelo al eje X. La ecuación del grafico neutro se ve; f(x)= (1/2)^(x). Ocurre algo similar al caso de la Funcion 1, solo que los valores negativos invierten la fraccion y el recorrido mayor esta en el eje X negativo, y el positivo se queda con los valores que tienden a 0.

Conclusión

     Se puede concluir que sin importar como cambie la forma de un gráfico si se conocen bien las variables, siempre podrá ser agrupado en alguna de las funciones "predeterminadas" existentes. Se pudo encontrar varios patrones en los diferentes tipos de funciones, por ejemplo; el valor c alteraba siempre a las funciones de la misma forma, determinando su posición en el eje Y. El valor de a muchas veces era el que definía el sentido de la función, si era creciente o decreciente y si se situaba en los cuadrantes 1,3 o 2 ,4(eje x positivo y eje x negativo respectivamente).  También se pudo encontrar estrechas relaciones de antagonismo en las funciones. La función numero 3, y la numero 7 pueden llegar a tener la misma forma, siempre que el valor de cada una de las variables de una de estas funciones al sumarse con su variable espejo de la otra función, sea "0".

     El paso a poder realizar todas estas conclusiones tuvo varias dificultades. Se tuvo una mala organización del equipo, incluyendo a uno que tuvo que dejarnos para realizar un viaje. De esta ineficiencia, sin embargo, se logró aprender formas para solucionarla que podremos aplicarla en futuros trabajos. Pero finalmente se cumplieron los objetivos planteados, se pudo razonar de manera efectiva los cambios de cada variable y ademas se pudieron encontrar algunos parecidos entre cada función